Артём родился в посёлке Гарь. После учебы в Асиновском техникуме был призван на срочную службу в мотострелковые войска. Демобилизовавшись вернулся домой, начал работать, женился, через год в молодой семье появилась дочь.
28 августа 2022 года был мобилизован на военную службу.
Выполняя первую военную задачу группа штурмовой разведки, в которую входил Салашный, взяла в плен 15 украинских военнослужащих. Так у Артёма появилась первая воинская награда «Орден Мужества». За выполнение следующего задания – медаль «За отвагу». В январе 2023-го военнослужащий получил осколочное ранение, а 23-го февраля ему вручили второй орден Мужества.
На восстановление здоровья потребовалось полгода, которые Артём провёл дома. От возможности комиссоваться он отказался и в конце сентября снова отправился на СВО.
3 августа 2024 года Артём ушёл на выполнение боевой задачи. Долго не выхолил на связь. Близкие звонили в его часть, им отвечали, что он не числиться ни среди без вести пропавших, ни среди раненых, не было его имени и в списках погибших. Звонки в министерство тоже не прояснили ситуацию. 20 августа семье сообщили, что военнослужащий Салашный ещё на задаче, а 23-го позвонили из военкомата, попросили приехать. Приехавшей жене сообщили, что Салашный Артём Сергеевич героически погиб при выполнении боевых задачи.
Захоронен рядом с другими погибшими участниками специальной военной операции на городском кладбище в Асине.